Question

9．已知函数F（x）=|2x+t|+x²+x+1（x∈R，t∈R，t为常数）
（Ⅰ）若t=-1，求F（x）的极值；
（Ⅱ）求F（x）在R上的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若t=-1，F（x）=|2x-1|+x²+x+1=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+2，x＜\frac{1}{2}\\{x}^{2}+3x，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，结合二次函数的图象和性质，分析函数的单调性，可得函数的极值；
（Ⅱ）根据二次函数的图象和性质，分当$-\frac{t}{2}$≤$-\frac{3}{2}$，即t≥3时，当$-\frac{3}{2}$＜$-\frac{t}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即-1＜t＜3时和当$-\frac{t}{2}$$≥\frac{1}{2}$，即t≤-1时三种情况，可得函数的单调区间．

解答 解：（I）若t=-1，F（x）=|2x-1|+x²+x+1=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+2，x＜\frac{1}{2}\\{x}^{2}+3x，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
当x$＜\frac{1}{2}$时，函数F（x）=x²-x+2为减函数，
当x$≥\frac{1}{2}$时，函数F（x）=x²+3x为增函数，
故当x=$\frac{1}{2}$时，函数F（x）取极小值$\frac{7}{4}$；
（Ⅱ）当x＜$-\frac{t}{2}$时，函数F（x）=x²-x+1-t的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
当x≥$-\frac{t}{2}$时，函数F（x）=x²+3x+1+t的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{3}{2}$为对称轴的抛物线，
当$-\frac{t}{2}$≤$-\frac{3}{2}$，即t≥3时，函数的单调递减区间为：（-∞，-$\frac{3}{2}$]，单调递增区间为：[-$\frac{3}{2}$，+∞），
当$-\frac{3}{2}$＜$-\frac{t}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即-1＜t＜3时，函数的单调递减区间为：（-∞，$-\frac{t}{2}$]，单调递增区间为：[$-\frac{t}{2}$，+∞），
当$-\frac{t}{2}$$≥\frac{1}{2}$，即t≤-1时，函数的单调递减区间为：（-∞，$\frac{1}{2}$]，单调递增区间为：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．