Question

4．等比数列{a_n}满足a₂+a₆=$\frac{34π}{3}$，a₂a₆=$\frac{64{π}^{2}}{9}$，则sina₄=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件判断出等比数列{a_n}中偶数项的符号，再由条件和等比数列的性质求出a₄，利用诱导公式和特殊角的正弦值求出sina₄．

解答 解：由题意得，a₂+a₆=$\frac{34π}{3}$，a₂a₆=$\frac{64{π}^{2}}{9}$，
则a₂＞0，a₆＞0，
所以在等比数列{a_n}中偶数项是正数，则a₄＞0，
由等比数列的性质得，a₂a₆=${{a}_{4}}^{2}$=$\frac{64{π}^{2}}{9}$，所以a₄=$\frac{8π}{3}$，
则sina₄=sin$\frac{8π}{3}$=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查等比数列的项的符号、性质，以及诱导公式和特殊角的正弦值的应用，属于中档题．