Question

椭圆C的中心坐标为原点O，焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为

2

2

，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A且

AP

=λ

PB

．
（1）求椭圆方程；
（2）若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范围?．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求椭圆的方程，设出椭圆C的标准方程，依条件得出a，b的方程，求出a，b即得椭圆C的方程．
（2）先设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量条件即可求得m的取值范围，从而解决问题．

解答：解：（1）设椭圆C的方程：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，则c²=a²-b²，由条件知

a2

c

-c=

b2

c

=

2

2

，

c

a

=

2

2

，所以a=1，b=c=

2

2

，
故椭圆C的方程为y²+2x²=1．（4分）
（2）由

AP

=λ

PB

，得

OP

-

OA

=λ(

OB

-

OP

)，
∴

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OP

．
∵

OA

+λ

OB

=4

OP

，
∴λ+1=4，λ=3．
设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
因此△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）
=4（k²-2m²+2）＞0，①
则x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+1

．
∵

AP

=3

PB

，∴-x₁=3x₂，得

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，
整理得：4k²m²+2m²-k²-2=0．
当m2=

1

4

时，上式不成立．
∴m2≠

1

4

，k2=

2-2m2

4m2-1

．
由①式得k²＞2m²-2，
∵λ=3，∴k≠0，k2=

2-2m2

4m2-1

＞0，
所以-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
即所求m的取值范围为(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)（14分）

点评：本题考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，向量问题，成为解决本题的关键．