Question

椭圆C的中心坐标为原点O，焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A．
（1）求椭圆方程；
（2）若的取值范围?．

Answer 1

解：（1）设椭圆C的方程：，则c²=a²-b²，，
故椭圆C的方程为y²+2x²=1．（4分）
（2）由，
∴．
∵，
∴λ+1=4，λ=3．
设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
因此△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）
=4（k²-2m²+2）＞0，①
则x₁+x₂=．
∵，∴-x₁=3x₂，得
得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴，
整理得：4k²m²+2m²-k²-2=0．
当时，上式不成立．
∴．
由①式得k²＞2m²-2，
∵λ=3，∴k≠0，，
所以或．
即所求m的取值范围为（14分）
分析：（1）利用待定系数法求椭圆的方程，设出椭圆C的标准方程，依条件得出a，b的方程，求出a，b即得椭圆C的方程．
（2）先设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量条件即可求得m的取值范围，从而解决问题．
点评：本题考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，向量问题，成为解决本题的关键．