Question

已知函数f(x)=

7x-3 2x+2 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ]

函数g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2(a＞0)，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[

  1

  2

  ，

  4

  3

  ]
• B．(0，

  1

  2

  ]
• C．[

  2

  3

  ，

  4

  3

  ]
• D．[

  1

  2

  ，1]

Answer 1

分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x₁）=g（x₂）成立，推出值域的交集非空，先求当二者的交集为空集时，a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．

解答：解：x∈[0，

1

2

]时，f（x）=-

1

3

x+

1

6

为单调减函数，∴f（x）∈[0，

1

6

]；
x∈(

1

2

，1]时，f(x)=

7x-3

2x+2

=

7

2

-

10

2x+2

为单调增函数，∴f（x）∈（

1

6

，1]，
∴函数f（x）的值域为[0，1]；
函数g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2(a＞0)，x∈[0，1]时，值域是[2-2a，2-

3a

2

]
∵存在x₁、x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅
若[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]=∅，则2-2a＞1或2-

3a

2

＜0，即a＜

1

2

或a＞

4

3

∴[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅时，实数a的取值范围是[

1

2

，

4

3

]
故选A

点评：本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用，解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．