Question

（2007•闵行区一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜

π

2

)的一系列对应值如下表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根据表格提供的数据求函数y=f（x）的解析式；
（2）（文）当x∈[0，2π]时，求方程f（x）=2B的解．
（3）（理）若对任意的实数a，函数y=f（kx）（k＞0），x∈(a，a+

2π

3

]的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，又当x∈[0，

π

3

]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中表格中提供的数据，我们可以判断出函数的最值及周期，进而A，B与最值的关系，ω与周期的关系，确定出A，B，ω的值，代入最大值点的坐标后，即可求出φ的值，进而得到函数的解析式．
（2）由（1）中所得的B值，我们可以构造出一个三角方程，根据正弦函数的性质及已知中x∈[0，2π]，可求出对应的x值，得到答案．
（3）若函数y=f（kx）（k＞0），x∈(a，a+

2π

3

]的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，则函数的周期为

2π

3

，又由当x∈[0，

π

3

]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，我们可以构造出一个关于m的不等式，解不等式即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）依题意，T=

2π

ω

=2[

5π

6

-(-

π

6

)]，∴ω=1（2分）
又

B+A=3 B-A=-1

，解得

A=2 B=1

（5分）
f(

5π

6

)=2sin(

5π

6

+φ)=3，|φ|＜

π

2

，解得φ=-

π

3

（7分）
∴f(x)=2sin(x-

π

3

)+1为所求．（8分）
（2）文：由f（x）=2B，得sin(x-

π

3

)=

1

2

（10分）
∵x∈[0，2π]，∴-

π

3

≤x-

π

3

≤

5π

3

（12分）
∴x-

π

3

=

π

6

或x-

π

3

=

5π

6

，即x=

π

2

，x=

7π

6

为所求．（14分）
（3）理：由已知条件可知，函数y=f(kx)=2sin(kx-

π

3

)+1的周期为

2π

3

，
又k＞0，∴k=3（10分）
令t=3x-

π

3

，∵x∈[0，

π

3

]，
∴t=3x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
而sint在[-

π

3

，

π

2

]上单调递增，在[

π

2

，

2π

3

]上单调递减，且sin

π

3

=sin

2π

3

=

3

2

，
如图∴sint=s在[-

π

3

，

2π

3

]上有两个不同的解的充要条件是s∈[

3

2

，1)，（12分）
∴方程f（x）=m恰有两个不同的解的充要条件是m∈[

3

+1，3)．（14分）
（注：单调区间写成[-

π

2

，

π

2

]、[

π

2

，

3π

2

]也行；直接数形结合得到正确结果，也可）

点评：本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，三角方程的解法，正弦函数的图象和性质，其中（1）的关键是熟练掌握正弦型函数解析式中参数与函数性质的关系，（2）的关键是熟练掌握正弦型函数的性质，（3）的关键是将已知，结合正弦函数的性质，转化为一个关于m的不等式．