Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，其中ω＞0，记函数f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

（1）若f（x）的图象中两条相邻对称轴间的距离

π

2

，求ω及f（x）的单调减区间．
（2）在（1）的条件下，且x∈[-

π

6

，

π

6

]，求最大值．

Answer 1

分析：利用向量的数量积坐标表示，结合二倍角及和差角公式可得，f（x）=sin（2ωx-

π

6

）
（1）由题意可得函数的周期T=π，代入周期公式T=

2π

2ω

可求ω，从而可得f（x）=sin（2x-

π

6

），令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤ 

3π

2

+ 2kπ，k∈Z可求
（2）由-

π

6

≤x≤

π

6

求出-

π

2

≤2x- 

π

6

≤

π

6

，结合正弦函数的图象可求函数的最值．

解答：解：（1）由条件得f(x)=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)
∵f（x）的图象中两条相邻对称轴间的距离

π

2

∴T=π∴ω=1∴f(x)=sin(2x-

π

6

)
∴单调减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]k∈Z
（2）由（1）得f(x)=sin(2x-

π

6

)∵x∈[-

π

6

，

π

6

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]
令2x-

π

6

=t，则t∈[-

π

2

，

π

6

]
∴f（t）=sint当t=

π

6

，即x=

π

6

时，函数f（x）取最大值为

1

2

点评：本题以向量的数量积为载体，主要考查了三角函数的二倍角公式，两角差的正弦公式，函数的对称性、周期、函数的单调区间、三角函数的在闭区间上的最值的求解．