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已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t),记函数f(x)=ax2+(a-b)x-c.
(1)求证:函数y=f(x)必有两个不同的零点;
(2)若函数y=f(x)的两个零点分别为m,n,求|m-n|的取值范围;
(3)是否存在这样的实数a,b,c及t使得函数y=f(x)在[-2,1]上的值域为[-6,12]?若存在,求出t的值及函数y=f(x)的解析式;若不存在,请说明理由.
(1)见解析   (2)(,+∞)   (3)f(x)=-2x2-8x+4.
解:(1)证明:由题意知a+b+c=0,且->1,a<0且>1,
∴ac>0,
∴对于函数f(x)=ax2+(a-b)x-c有Δ=(a-b)2+4ac>0,
∴函数y=f(x)必有两个不同零点.
(2)|m-n|2=(m+n)2-4mn==()2+8+4,
由不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t)可知,
方程ax2+bx+c=0的两个解分别为1和t(t>1),
由根与系数的关系知=t,
∴|m-n|2=t2+8t+4,t∈(1,+∞).
∴|m-n|>,∴|m-n|的取值范围为(,+∞).
(3)假设存在满足题意的实数a,b,c及t,
∵f(x)=ax2+(a-b)x-c=a[x2+(1-)x-]
=a[x2+(1+)x-]
=a[x2+(2+t)x-t](t>1),
∴f(x)的对称轴为x=-1-<-.
∴f(x)在[-2,1]上的最小值为f(1)=3a=-6,则a=-2.
要使函数y=f(x)在[-2,1]上的值域为[-6,12],
只要f(x)max=12即可.
①若-1-≤-2,即t≥2,f(x)max=f(-2)=12,则有6t=12,
∴t=2.
此时,a=-2,b=6,c=-4,t=2,∴f(x)=-2x2-8x+4.
②若-1->-2,∴1<t<2,f(x)max=f(-1-)==12.
∴t=2或t=-10,舍去.
综上所述,当a=-2,b=6,c=-4,t=2时,函数y=f(x)在[-2,1]上的值域为[-6,12],此时函数的解析式为f(x)=-2x2-8x+4.
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