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    如图：已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．
    （1）求p的值；
    （2）求△AOB的面积．
    解（1）∵OD⊥AB，∴kOD•kAB=-1．
    又kOD=
    1
    2
    ，∴kAB=-2，
    ∴直线AB的方程为y=-2x+5．…．…（1分）
    设A（x1，x2），B（x2，y2），则
    由OA⊥OB⇒
    OA
    •
    OB
    =0⇒x1x2+y1y2=0    …．…（2分）
    又x1x2+y1y2=x1x2+（-2x1+5）（-2x2+5）=5x1x2-10（x1+x2）+25
    联立方程
    y2=2px
    y=-2x+5
    消y可得4x2-（20+2p）x+25=0①
    ∴x1+x2=
    10+p
    2
    ，x1x2=
    25
    4
    …．（3分）
    ∴x1x2+y1y2=5×
    25
    4
    -10×
    10+p
    2
    +25    =
    5
    4
    -p    ，
    ∴p=
    5
    4

    当p=
    5
    4
    时，方程①成为8x2-45x+50=0显然此方程有解．
    ∴p=
    5
    4
    …．…（5分）
    （2）由|AB|=
    		(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
    =
    		5×[(
    15
    8
    )    2    -25]
    =
    5
    		85
    8
    ．…（7分）
    ∵|OD|=
    		5
    ．…（8分）
    ∴S△AOB=
    1
    2
    |AB|•|OD|    =
    1
    2
    ×
    		5
    ×
    5
    		85
    8
    =
    25
    		17
    16
    …．…（10分）
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系中，已知
    a
    =(2mx，y-1)，
    b
    =(2x，y+1)    ，其中m∈R，
    a
    ⊥
    b
    ，动点M（x，y）的轨迹为C．
    （1）求轨迹C的方程，并说明该轨迹方程所表示曲线的形状；
    （2）当m=
    1
    8
    时，设过定点P（0，2）的直线l与轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且
    PA
    =
    AB
    ，则称点P为“λ点”，那么直线l上有______个“λ点”．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为2，且|MF|=3．
    （1）求抛物线C的方程；
    （2）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，F1、F2分别为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，
    3
    2
    ）到F1、F2两点的距离之和为4．
    （1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
    （2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求弦长|PQ|．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C1的方程为
    x2
    4
    +y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
    （Ⅰ）求双曲线C2的方程；
    （Ⅱ）若直线l：y=kx+
    		2
    与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足
    OA
    •
    OB
    ＜6（其中O为原点），求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    若θ是任意实数，则方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲线一定不是（　　）
    A．圆B．双曲线C．直线D．抛物线

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    直线L：y=kx+1与椭圆C：ax2+y2=2（a＞1）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．
    （1）若k=1，且四边形OAPB为矩形，求a的值；
    （2）若a=2，当k变化时（k∈R），求点P的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中心，P为半圆弧上一点，且AB=4，∠POB=30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．
    （1）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；
    （2）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若△OEF的面积不小于2
    		2
    ，求直线l的斜率的取值范围．

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