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在平面直角坐标系中,已知
a
=(2mx,y-1),
b
=(2x,y+1)
,其中m∈R,
a
b
,动点M(x,y)的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程,并说明该轨迹方程所表示曲线的形状;
(2)当m=
1
8
时,设过定点P(0,2)的直线l与轨迹C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
(1)因为
a
b
a
=(2mx,y-1),
b
=(2x,y+1)

所以
a
b
=4mx2+y2-1=0
,即4mx2+y2=1..(2分)
当m=0时,方程表示两直线,方程为y=±1;
m=
1
4
时,方程表示的是圆
当m>0且m≠
1
4
时,方程表示的是椭圆;
当m<0时,方程表示的是双曲线.…..(6分)
(2)当m=
1
8
时,轨迹C的方程为
x2
2
+y2=1

显然直线l的斜率是存在的,可设直线l:y=kx+2,A(x1,y2),B(x2,y2),…..(7分)
联立
y=kx+2
x2
2
+y2=1
,消去y,整理得:(2k2+1)x2+8kx+6=0
x1+x2=-
8k
2k2+1
x1x2=
6
2k2+1
…..(9分)
由△=(8k)2-4(2k2+1)×6>0,即2k2-3>0得:k<-
6
2
k>
6
2
①…..(10分)
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=
6k2
2k2+1
-
16k2
2k2+1
+4=
4-2k2
2k2+1
…..(11分)
∵∠AOB为锐角,
∴cos∠AOB>0,
OA
OB
>0,
OA
OB
=x1x2+y1y2=
6
2k2+1
+
4-2k2
2k2+1
=
10-2k2
2k2+1
>0

即k2-5<0,
-
5
<k<
5
…..(13分)
故由①、②得-
5
<k<-
6
2
6
2
<k<
5
…..(14分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线W的顶点在原点,其焦点F在x轴的正半轴上,过点F作x轴的垂线与W交于A、B两点,且点A在第一象限,|AB|=8,过点B作直线BC与x轴交于点T(t,0)(t>2),与抛物线交于点C.
(1)求抛物线W的标准方程;
(2)若t=6,曲线G:x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线BC有公共点,求实数a的取值范围;
(3)若|OB|2+|OC|2≤|BC|2,求△ABC的面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:3x2+y2=12,直线x-y-2=0交椭圆C于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的焦点坐标及长轴长;
(Ⅱ)求以线段AB为直径的圆的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在直角坐标系中,O为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,
2
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点M是曲线C上任一点,点M到点F(1,0)的距离比到y轴的距离多1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(0,2)的直线L交曲线C于A、B两点,若以AB为直径的圆经过原点O,求直线L的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知F1,F2分别为椭圆
x2
a2
+
y2
a2-1
=1(a>1)的左、右两个焦点,一条直线l经过点F1与椭圆交于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
(1)求实数a的值;
(2)若l的倾斜角为
π
4
,求|AB|的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设直线y=x+1与椭圆
x2
2
+y2=1
相交于A,B两点,则|AB|=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

k为何值时,直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个交点(  )
A.-
6
3
<k<
6
3
B.k>
6
3
或k<-
6
3
C.-
6
3
≤k≤
6
3
D.k≥
6
3
或k≤-
6
3

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图:已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1).
(1)求p的值;
(2)求△AOB的面积.

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