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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线W的顶点在原点,其焦点F在x轴的正半轴上,过点F作x轴的垂线与W交于A、B两点,且点A在第一象限,|AB|=8,过点B作直线BC与x轴交于点T(t,0)(t>2),与抛物线交于点C.
(1)求抛物线W的标准方程;
(2)若t=6,曲线G:x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线BC有公共点,求实数a的取值范围;
(3)若|OB|2+|OC|2≤|BC|2,求△ABC的面积的最大值.
(1)设抛物线的方程为y2=2px,(p>0)
x=
p
2
,得y2=p2
所以2p=|AB|=8
抛物线的方程为y2=8x.…(4分)
(2)若t=6即T(6,0),又B(2,-4),则直线BC的方程为x-y-6=0…(5分)
曲线G:(x-a)2+(y-2)2=4,是以(a,2)为圆心,2为半径的圆…(6分)
由题意
|a-2-6|
2
≤2
,解得8-2
2
≤a≤8+2
2
.…(8分)
(3)直线BT的方程为y=
4
t-2
(x-t)
,代入抛物线方程y2=8x,得:
2x2-(t2+4)x+2t2=0
因为t>2,所以△=t4-8t2+16=(t2-4)2>0.…(9分)
因为x=2是这个方程的一个根,设C(xC,yC)根据韦达定理2xC=t2,所以xC=
t2
2

再由抛物线方程可得yC=2t,即点C(
t2
2
,2t)
.…(10分)
因为|OB|2+|OC|2≤|BC|2,所以∠BOC为钝角或直角
所以
OB
OC
≤0
,即2xC-4yC≤0,t2-8t≤0,且t>2,解得2<t≤8.…(12分)
ABC的面积S△ABC=
1
2
|AB|•(xC-2)=2t2-8

所以当t=8时,S△ABC最大值为120.….(14分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为
3
2
,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围;
(3)过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR的一边距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C1
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的右顶点为P(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设抛物线C2:y=x2+h(h∈R)的焦点为F,过F点的直线l交抛物线与A、B两点,过A、B两点分别作抛物线C2的切线交于Q点,且Q点在椭圆C1上,求△ABQ面积的最值,并求出取得最值时的抛物线C2的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知P是椭圆
x2
45
+
y2
20
=1
的第三象限内一点,且它与两焦点连线互相垂直,若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3,则实数m的取值范围是(  )
A.[-7,8]B.[-
9
2
21
2
]
C.[-2,2]D.(-∞,-7]∪[8,+∞)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知A(-2,0),B(2,0),P为平面内一动点,直线PA,PB的斜率之积为-
1
4
,记动点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)若点D(0,2),点M,N是曲线C上的两个动点,且
DM
DN
,求实数λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线y=2x+b与曲线xy=2相交于A,B两点,若|AB|=5,则实数b的值是(  )
A.2B.-2C.±2D.4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),F1、F2是其左右焦点,其离心率是
6
3
,P是椭圆上一点,△PF1F2的周长是2(
3
+
2
).
(1)求椭圆的方程;
(2)试对m讨论直线y=2x+m(m∈R)与该椭圆的公共点的个数.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

F1(-1,0),F2(1,0),动点M满足|MF1|+|MF2|=2
2

(1)求M的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=
7
7
(x-1)
与曲线C交于A、B两点,求
F1A
F1B
的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知
a
=(2mx,y-1),
b
=(2x,y+1)
,其中m∈R,
a
b
,动点M(x,y)的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程,并说明该轨迹方程所表示曲线的形状;
(2)当m=
1
8
时,设过定点P(0,2)的直线l与轨迹C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.

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