Question

已知函数f（x）=|x-a|．不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}．
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）+f（x+5）≥c²-4c对一切实数x恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）≤3即|x-a|≤3，得a-3≤x≤a+3．
∴f（x）≤3的解集是[a-3，a+3]，
结合题意，得，可得a=2．
（2）∵f（x）=|x-2|，
∴原不等式即：|x-2|+|x+3|≥c²-4c对一切实数x恒成立，
∵|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，即|x-2|+|x+3|的最小值为5
∴5≥c²-4c，即c²-4c-5≤0，解之得-1≤c≤5
分析：（1）根据绝对值不等式的解法法则，得{x|a-3≤x≤a+3}与{x|-1≤x≤5}是同一集合，再比较端点处的值，即可得到实数a的值．
（2）根据绝对值不等式的性质，得已知不等式左边的最小值是5，由此得到关于c的不等式，解之即得实数c的取值范围．
点评：本题给出含有绝对值的函数，要我们解绝对值不等式并求不等式恒成立时参数的取值范围，着重查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的处理方法等知识，属于中档题．