【题目】已知四棱锥中,底面为矩形,且,,若平面,,分别是线段,的中点.
(1)证明:;
(2)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,确定点的位置:若不存在,说明理由;
(3)若与平面所成的角为45°,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,为的一个四等分点(靠近点)时,平面;(3).
【解析】
(1)连接,利用勾股定理,证得,利用线面垂直的判定定理证得平面,即可证得;
(2)过点作交于点,利用面面平行的判定定理,证得平面平面,得到平面,即可得到结论;
(3)取的中点,连接,过点作于点,连接,得到则平面,得出为二面角的平面角,直角中,即可求解.
(1)连接,则,,又,
由,所以,
又由平面,则,
又由,所以平面,
又因为平面,所以.
(2)过点作交于点,则平面,且有,
再过点作交于点,连接,则平面且,
所以平面平面,又由平面,所以平面,
所以当为的一个四等分点(靠近点)时,使得平面.
(3)因为平面,
所以是与平面所成的角,且,所以,
取的中点,连接,则,平面,所以,
在平面中,过点作于点,连接,则平面,
则为二面角的平面角,
因为,所以,
因为,,,且,
所以,,
在直角中,,
故二面角的余弦值为.
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【题目】已知定义在上的偶函数和奇函数,且.
(1)求函数,的解析式;
(2)设函数,记(,).探究是否存在正整数,使得对任意的,不等式恒成立?若存在,求出所有满足条件的正整数的值;若不存在,请说明理由.
参考结论:设均为常数,函数的图象关于点对称的充要条件是.
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【题目】设数列的前项和,已知,.
(1)求证:数列为等差数列,并求出其通项公式;
(2)设,又对一切恒成立,求实数的取值范围;
(3)已知为正整数且,数列共有项,设,又,求的所有可能取值.
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【题目】如图,圆:.
(Ⅰ)若圆C与x轴相切,求圆C的方程;
(Ⅱ)已知,圆与x轴相交于两点(点在点的左侧).过点任作一条直线与圆:相交于两点A,B.问:是否存在实数a,使得=?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AOB是一块半径为r的扇形空地,.某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE及一矩形停车场EFGH,剩余的地方进行绿化.若,设
(Ⅰ)记活动场地与停车场占地总面积为,求的表达式;
(Ⅱ)当为何值时,可使活动场地与停车场占地总面积最大.
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【题目】某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过站的地铁票价如下表:
乘坐站数 | |||
票价(元) |
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过站,且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.
(1)若甲、乙两人共付费元,则甲、乙下车方案共有多少种?
(2)若甲、乙两人共付费元,求甲比乙先到达目的地的概率.
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