Question

己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=

ab

a2+b2-c2

（I ）求角C大小；
（II）当c=1时，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

（I ）由已知及余弦定理，得tanC=

ab

a2+b2-c2

=

ab

2abcosC

=

sinC

cosC

，
∴sinC=

3

2

，故锐角C=

π

6

．
（II）当C=1时，∵B+A=150°，∴B=150°-A．由题意得

A＜90° 0°＜150°-A＜

90°，
∴60°＜A＜90°．由

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，得 a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），
∴a²+b²=4[sin²A+sin²（A+30°）]=4[

1-cos2A

2

+

1-cos(2A+60°)

2

]=4[1-

1

2

cos2A-

1

2

（

1

2

cosA-

3

2

sin2A）]=4+2

3

sin（2A-60°）．
∵60°＜A＜90°，∴（2A-60°）．
∴7＜a²+b²≤4+2

3

．