Question

（2012•马鞍山二模）己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，向量

m

=（a²+b²-c²，ab），

n

=（sinC，-cosC），且

m

⊥

n

．
（I）求角C的大小；
（II）当c=1时，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

⊥

n

得：（a²+b²-c²）sinC-ab•cosC=0，结合余弦定理得sinC=

1

2

，从而求得 C的值．
（Ⅱ）由正弦定理得a=2sinA，b=2sinB=sin（150°-A）=2sin（A+30°）．化简 a²+b² 为 4+2

3

sin（2A-60°），根据角的范围求出sin（2A-60°） 的范围，即可求出
4+2

3

sin（2A-60°）的范围，即为所求．

解答：解：（Ⅰ）由

m

⊥

n

得：（a²+b²-c²）sinC-ab•cosC=0，…（2分）
结合余弦定理得：sinC=

1

2

，∴C=30°（∵C是锐角）．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

sin30°

=2，…（7分）
∴a=2sinA，b=2sinB=sin（150°-A）=2sin（A+30°）．
∴a²+b²=4sin²A+4 sin²（A+30°）=2（1-cos2A）+2[1-2cos（2A+60°）]=4-2cos2A-2cos60°cos2A+2sin60°sin2A
=4cos2A-cos2A+

3

sin2A=4+

3

sin2A-3cos2A=4+2

3

sin（2A-60°）．…（10分）
∵△ABC是锐角三角形，由0°＜A＜90°及 0°＜B=150°-A＜90°，得：60°＜A＜90°，120°＜2A＜180°，
从而  60°＜2A-60°＜120°，

3

2

＜sin（ 2A-60°）≤1，3＜2

3

sin（ 2A-60°）≤2

3

，故7＜4+2

3

sin（2A-60°）≤4+2

3

，
即a²+b²的取值范围是（7，4+2

3

）．…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，属于中档题．