Question

已知f（x）=lgx：
（1）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式，如从f（x）=lgx可抽象出性质：f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
对于下面两个具体函数，试分别抽象出一个与上面类似的性质：
由h（x）=2^x可抽象出性质为

h（x₁+x₂）=h（x₁）•h（x₂）

，
由φ（x）=3x+1可抽象出性质为

φ（x₁+x₂）=φ（x₁）+φ（x₂）

．
（2）g（x）=f（x²+6x+4）-f（x），求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的性质可得h（x）满足h（x₁+x₂）=h（x₁）•h（x₂），根据一次函数的性质可得φ（x）满足φ（x₁+x₂）=φ（x₁）+φ（x₂）
（2）由已知中f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），求出函数g（x）的解析式，并分析函数的单调性，进而可得函数的最值．

解答：解：（1）h（x）满足h（x₁+x₂）=h（x₁）•h（x₂）------------------（2分）
φ（x）满足φ（x₁+x₂）=φ（x₁）+φ（x₂）----------------（4分）
故答案为：h（x₁+x₂）=h（x₁）•h（x₂），φ（x₁+x₂）=φ（x₁）+φ（x₂）（答案不唯一）
（2）g（x）=f（x²+6x+4）-f（x）=lg（x²+6x+4）-lgx
=lg

x2+6x+4

x

=lg(x+

4

x

+6)，x＞0-------------------（5分）
令h(x)=x+

4

x

，x＞0，
任取0＜x₁＜x₂，
h(x1)-h(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

当0＜x₁＜x₂≤2时，h（x₁）-h（x₂）＞0，h（x₁）＞h（x₂），
当2≤x₁＜x₂时，h（x₁）-h（x₂）＜0，h（x₁）＜h（x₂），
h（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，--------------（8分）
故当x=2时，h_min（x）=4，这时g_min（x）=1．------------------（10分）

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，其中（1）的结论是解答抽象函数时，将“抽象”化为“具体”的常用结论，请注意总结．