Question

16．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：a_n+3=a_n；
（2）求a₂₀₁₁．

Answer 1

分析 （1）通过将a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$代入计算可知a_n+3=a_n；
（2）通过（1）可知数列{a_n}是以3为周期的周期数列，利用2011=670×3+1可知a₂₀₁₁=a₁=$\frac{1}{2}$．

解答 （1）证明：∵a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+3=1-$\frac{1}{{a}_{n+2}}$
=1-$\frac{1}{1-\frac{1}{{a}_{n+1}}}$
=1-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-1}$
=-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$
=-$\frac{1}{1-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$
=a_n，
即a_n+3=a_n；
（2）解：由（1）可知数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
∵2011=670×3+1，
∴a₂₀₁₁=a₁=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．