Question

16．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的中点，AB=2AF=2，∠CBA=60°．
（1）求证：AN⊥DM；
（2）求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；
（3）求三棱锥D-MAN的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，证明AN⊥AD，利用平面与平面垂直的性质证明AN⊥平面ADEF，即可证明AN⊥DM；
（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，可得∠NMA为直线MN与平面ADEF所成的角，求出AN，AM，即可求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；
（3）利用三棱锥D-MAN的体积=三棱锥N-MAD的体积，即可求三棱锥D-MAN的体积．

解答 证明：（1）连接AC，在菱形ABCD中，
∵∠CBA=60°且AB=BC，∴△ABC为等边三角形．
∵N为BC的中点，∴AN⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AN⊥AD，
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AN?平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD
∴AN⊥平面ADEF，
∵DM?平面ADEF，
∴AN⊥DM；
解：（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，
∴∠NMA为直线MN与平面ADEF所成的角，
∵四边形ADEF为矩形，AD=2AF=2，M是EF的中点，
∴AF=FM=1，
∴△AMF为等腰直角三角形，
∴AM=$\sqrt{2}$，
∵△ABC为边长为2的等边三角形且N是BC的中点，
∴AN=$\sqrt{3}$，
在Rt△NAM中，tan∠NMA=$\frac{AN}{AM}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（3）∵四边形ADEF为矩形，M是EF的中点，AB=2AF=2，
∴ME=DE=1，且DM=AM=$\sqrt{2}$，
∴AD²=AM²+DM²，
∴∠AMD=90°，
∴S_△AMD=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1．
由（1）NA⊥平面ADEF，
∴三棱锥D-MAN的体积=三棱锥N-MAD的体积=$\frac{1}{3}•1•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质，以及着重考查了棱锥的体积公式、线面角，考查空间想象能力、运算能力．