Question

15．已知椭圆（m+2）x²+y²=m（m＞0）的焦距F₁F₂=$\sqrt{6}$．
（1）求m的值及焦点的坐标；
（2）在椭圆上求一点P，使得∠F₁PF₂=90°．

Answer 1

分析 （1）通过将椭圆方程转化为标准方程，利用m＞0可知椭圆焦点在y轴上，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知椭圆方程$\frac{{y}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1，设点P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），利用|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$、$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，计算即得结论．

解答 解：（1）∵（m+2）x²+y²=m（m＞0），
∴$\frac{{x}^{2}}{\frac{m}{m+2}}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0），
∴m＞0，
∴0＜$\frac{m}{m+2}$＜m，
∴椭圆焦点在y轴上，
又∵焦距F₁F₂=$\sqrt{6}$，
∴焦点坐标F₁（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），F₂（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴$\sqrt{m-\frac{m}{m+2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
化简得：2m²-m-6=0，
解得：m=2或m=-$\frac{3}{2}$（舍）；
（2）由（1）可知椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1，
设点P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），依题意有：
|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（0-\frac{\sqrt{2}}{2}cosα）^{2}+（-\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{2}sinα）^{2}}$+$\sqrt{（0-\frac{\sqrt{2}}{2}cosα）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{2}sinα）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，①
∵∠F₁PF₂=90°，即$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴（0-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\sqrt{2}$sinα）•（0-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\sqrt{2}$sinα）=0，
化简得：$\frac{1}{2}$cos²α-$\frac{3}{2}$+2sin²α=0，
即$\frac{1}{2}$cos²α+2sin²α=$\frac{3}{2}$，②
将②代入①式，得：$\sqrt{3+2\sqrt{3}sinα}$+$\sqrt{3-2\sqrt{3}sinα}$=2$\sqrt{2}$，
∴（$\sqrt{3+2\sqrt{3}sinα}$+$\sqrt{3-2\sqrt{3}sinα}$）²=8，
∴3+$2\sqrt{3}$sinα+2$\sqrt{3+2\sqrt{3}sinα}$•$\sqrt{3-2\sqrt{3}sinα}$+3-$2\sqrt{3}$sinα=8，
化简得：9-12sin²α=1，
∴sin²α=$\frac{2}{3}$，cos²α=1-sin²α=$\frac{1}{3}$，
∴sinα=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosα=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\sqrt{2}$sinα=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴P（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、P（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、P（-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、P（-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）均使得∠F₁PF₂=90°．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．