【题目】已知函数,
.
(1)若函数在
上是减函数,求实数
的取值范围;
(2)是否存在整数,
,使得
的解集恰好是
,若存在,求出
,
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)根据二次函数图像确定对称轴一定在区间外,再根据左右位置对于单调性确定函数值的正负,解不等式可得实数
的取值范围;(2)根据对称轴与定义区间位置关系讨论函数值对应关系,消去m得关于a,b关系式,根据整数条件确定有限解,最后验证确定满足条件的解
试题解析:(1)令,则
.
当,即
时,
恒成立,
所以.
因为在
上是减函数,所以
,解得
,
所以.
由,解得
或
,
当时,
的图象对称轴
,且方程
的两根均为正,
此时在
为减函数,所以
符合条件.
当时,
的图象对称轴
,且方程
的根一正一负,
要使在
单调递减,则
,解得
.
综上可得,实数的取值范围为
.
(2)假设存在整数、
,使
的解集恰好是
,则
①若函数在
上单调递增,则
,
且
,
即
作差得到,代回得到
,即
,
由于、
均为整数,
故,
,
或
,
,
,经检验均不满足要求;
②若函数在
上单调递减,则
,
且
,
即
作差得到,代回得到:
,即
,
由于、
均为整数,
故,
,
或
,
,
,经检验均不满足要求;
③若函数在
上不单调,则
,
,且
,
即
作差得到,代回得到
,即
,由于
,
均为整数,
故,
,
或
,
,
,经检验均满足要求;
综上:符合要求的整数、
是
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在R上的函数y=f(x)对任意的x、y∈R,满足条件:f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求f(0)的值;
(2)证明:函数f(x)是R上的单调增函数;
(3)解关于t的不等式f(2t2﹣t)<1.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设不等式﹣2<|x﹣1|﹣|x+2|<0的解集为M,a,b∈M. (Ⅰ)证明:| a+
b|<
;
(Ⅱ)比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知四棱锥中,底面
是边长为1的正方形,侧棱
底面
,且
,
是侧棱
上的动点.
(1)求四棱锥的表面积;
(2)是否在棱上存在一点
,使得
平面
;若存在,指出点
的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,当
时,恒有
.当
时,
.
(Ⅰ)求证: 是奇函数;
(Ⅱ)若,试求
在区间
上的最值;
(Ⅲ)是否存在,使
对于任意
恒成立?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在南北方向有一条公路,一半径为100m的圆形广场(圆心为O)与此公路一边所在直线l相切于点A.点P为北半圆弧(弧APB)上的一点,过P作直线l的垂线,垂足为Q.计划在△PAQ内(图中阴影部分)进行绿化.设△PAQ的面积为S(单位:m2).
(1)设∠BOP=α(rad),将S表示为α的函数;
(2)确定点P的位置,使绿化面积最大,并求出最大面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log2x,g(x)=2log2(2x+a),a∈R
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈[1,4],f(4x)≤g(x),求实数a的取值范围;
(3)设a>﹣2,求函数h(x)=g(x)﹣f(x),x∈[1,2]的最小值.
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