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对函数f（x）=xsinx，现有下列命题：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）的最小正周期是2π；
③点（π，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
④函数f（x）在区间 $数学公式$ 上单调递增，在区间 $数学公式$ 上单调递减．
其中是真命题的是 ________（写出所有真命题的序号）．

①④
分析：本题中①研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之；②研究的是函数的周期性，利用周期性定义证明之；③研究的是函数的图象对称性，可以利用对称性的性质来证明；④研究函数的单调性，可用两个函数相乘时单调性的判断方法进行判断．
解答：对于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函数f（x）是偶函数①正确；
对于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函数f（x）的最小正周期是2π，②不正确；
对于③，由于f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-π≠0故点（π，0）不是函数f（x）的图象的一个对称中心，故③不正确；
对于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在区间 $\text{[math]}$ 上f'（x）＞0，在区间 $\text{[math]}$ 上f'（x）＜0，由此知函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，故④正确．
故答案为：①④
点评：本题考点是函数的单调性判断与证明，函数的奇偶性，函数的中心对称的判断及函数的周期性，涉及到的性质比较多，且都是定义型，本题知识性较强，做题时要注意准确运用相应的知识准确解题．

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科目：高中数学 来源： 题型：

某学生对函数f（x）=xsinx结论：
①函数f（x）在[-

，

]单调；
②存在常数M＞0，使f（x）≤M成立；
③函数f（x）在（0，π）上无最小值，但一定有最大值；
④点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心．
其中正确命题的序号是

．

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科目：高中数学 来源： 题型：

某学生对函数f（x）=xsinx进行研究，得出如下四个结论：
①函数f（x）在[-

，

]上单调递增；
②存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；
③函数f（x）在（0，π）无最小值，但一定有最大值；
④点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心．
其中正确的是（　　）

A、③

B、②③

C、②④

D、①②④

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科目：高中数学 来源： 题型：

某同学对函数f（x）=xsinx进行研究后，得出以下结论：
①函数y=f（x）的图象是轴对称图形；
②对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③

B．③④

C．①②④

D．①④

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2010•南京三模）对函数f（x）=xsinx，现有下列命题：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）的最小正周期是2π；
③点（π，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
④函数f（x）在区间[0，

]上单调递增，在区间[-

，0]上单调递减．
其中是真命题的是

①④

（写出所有真命题的序号）．

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