Question

等差数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂•S₂=16，{ban}是公比为4的等比数列
（1）求a_n与b_n
（2）设Cn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S2

+…+

1

Sn

，若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+

3

4

＞C_n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，
依题意有

ban+1

ban

=

q3+nd

q3+(n-1)d

=qd=4以及S₂b₂=（6+d）q=16，由此可导出a_n与b_n；
（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后裂项求和法求出和，最后利用不等式恒成立的条件即可获得问题的解答．

解答：解：（1）由已知可得

ban+1 ban = q3+nd q3+(n-1)d =qd=4 S2b2=(6+d)q=16

解得，q=2，d=2
∴a_n=3+（n-1）2=2n+1
∴b_n=2^n-1
（2）S_n=S_n=3+5++（2n+1）=n（n+2），
∵Cn=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

]＜

3

4

由于m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+

3

4

＞C_n恒成立
∴

t2-2t≥0 t2+2t≥0

∴t≤-2或t≥2或t=0

点评：本题考查的是数列通项的求法与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、前n项和公式以及放缩法等知识．值得同学们体会反思．