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    （08年东北师大附中理）（12分）

     

        某市举行的一次数学新课程骨干教师培训，共邀请10名使用不同版本教材的教师，数据如下表所示：

     

    版本

    人教A版

    人教B版

    性别

    男教师

    女教师

    男教师

    女教师

    人数

    3

    2

    2

    3

    （Ⅰ）从这10名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？

    （Ⅱ）培训活动随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

    解析：（Ⅰ）记2人恰好是教不同版本的男教师的事件为A，

    从10名教师中随机选出2名共种选法，

    所以这2人恰好是教不同版本的男教师的概率是．

                     ……………………………………6分

     (Ⅱ)由题意得

       ， ，．

    …………………………………………………………9分

    故的分布列为

    0

    1

    2

     

     

    所以，数学期望． …………………12分

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    （08年东北师大附中三摸理） （12分） 在数列中，，，记，.

    （Ⅰ）证明：数列是等比数列；

    （Ⅱ）记，数列的前n项和为，求证：．

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    （08年东北师大附中三摸理） （12分）如图，在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D＝6，BC＝3，DC＝，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．

       （Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

       （Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

                               

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    （08年东北师大附中四摸文）  已知函数的图象为曲线.

    (Ⅰ) 若曲线上存在点，使曲线在点处的切线与轴平行，求的关系；

    (Ⅱ) 说明函数可以在和时取得极值，并求此时的值；

    (Ⅲ) 在满足(2)的条件下，在时恒成立，求的取值范围.

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    （08年东北师大附中四摸）（12分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点.

    (1)     求此双曲线的方程；

    (2)     设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得. 若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由.

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