Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），且f（1）=

7

2

，f（x）的最大值为

9

2

．
（1）求a和b，c的值；
（2）解不等式f[logc(x2+x+

1

2

)]＜f[logc(2x2-x+

5

8

)]．

Answer 1

分析：（1）由f（2+x）=f（2-x）可知f（x）图象关于x=2对称，即-

b

2a

=2，由最大值为

9

2

得f（2）=

9

2

，即4a+2b+c=

9

2

，由f（1）=

7

2

，得a+b+c=

7

2

，联立方程组解出即可；
（2）由（1）可求出f（x）的单调区间，根据单调性可去掉不等式中符号“f”，转化为二次不等式组，解出即可，注意对数函数的定义域；

解答：解：（1）∵f（2+x）=f（2-x）
∴二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）的图象关于直线x=2对称．
∴f（2）=4a+2b+c=

9

2

①且f（1）=a+b+c=

7

2

②，-

b

2a

=2③，联立①②③解得：
a=-1，b=4，c=

1

2

．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减且c=

1

2

．
∴log

1

2

(x2+x+

1

2

)=log

1

2

[(x+

1

2

)2+

1

4

]≤2，log

1

2

(2x2-x+

5

8

)=log

1

2

[2(x-

1

4

)2+

1

2

]≤1，
由原不等式得：log

1

2

(x2+x+

1

2

)＜log

1

2

(2x2-x+

5

8

)?

x2+x+ 1 2 ＞0 2x2-x+ 5 8 ＞0 x2+x+ 1 2 ＞2x2-x+ 5 8

?1-

14

4

＜x＜1+

14

4

，

故原不等式的解集是{x|1-

14

4

＜x＜1+

14

4

}．

点评：本题考查二次函数的性质及复合函数的单调性，考查学生的计算能力及灵活运用知识解决问题的能力，属中档题．