Question

（2009•淮安模拟）已知f₁（x）=sinx+cosx，记f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*，n≥2），则f₁（

π

4

）+f₂（

π

4

）+…+f₂₀₀₉（

π

4

）=

2

．

Answer 1

分析：利用三角函数求导法则求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，再将代入，每四项的和是一个常数，即可求得正确答案．

解答：解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f₁（

π

4

）+f₂（

π

4

）+…+f₂₀₀₉（

π

4

）=f₁（

π

4

）=sin

π

4

+cos

π

4

=

2

故答案为：

2

点评：本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于中档题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．