Question

5．已知函数f（x）=x²-a|x-1|，a＞0
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若区间[1，4]内f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（3）记函数f（x）在区间[0，3]内的最大值，最小值分别为M（a），m（a），求M（a）-m（a）

Answer 1

分析 （1）讨论x的范围，结合对称轴和区间的关系，即可得到单调区间；
（2）当x=1时，当1＜x≤4时，运用参数分离和基本不等式，即可得到最小值，进而得到a的范围；
（3）讨论当x∈[1，3]时，去绝对值，求出对称轴，讨论与区间[1，3]的关系，可得f（x）的值域，讨论当0≤x≤1时，f（x）的解析式和对称轴，求得f（x）的值域，可得f（x）在[0，3]的最大值和最小值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-|x-1|，
当x≥1时，f（x）=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在[1，+∞）递增，
当x＜1时，f（x）=x²+x-1=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$在（-∞，-$\frac{1}{2}$）递减，在（-$\frac{1}{2}$，1）递增．
即有f（x）的增区间为（-$\frac{1}{2}$，+∞），减区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（2）当x=1时，f（1）=1＞0成立，
当1＜x≤4时，f（x）＞0即为x²-a|x-1|＞0，
即a＜$\frac{{x}^{2}}{x-1}$在x∈（1，4]恒成立，
由$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2=4，
即有a＜4．
综上可得a的范围是（-∞，4）；
（3）当x∈[1，3]时，f（x）=x²-ax+a，
对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
当0＜$\frac{a}{2}$≤1时，即0＜a≤2时，[1，3]递增，f（x）∈[1，9-2a]；
当1＜$\frac{a}{2}$＜2即为2＜a＜4时，f（x）∈[a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，9-2a]；
当2≤$\frac{a}{2}$＜3即为4≤a＜6时，f（x）∈[a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，1]；
当$\frac{a}{2}$≥3即为a≥6时，[1，3]递减，f（x）∈[9-2a，1]．
当0≤x≤1时，f（x）=x²+ax-a，
对称轴为x=-$\frac{a}{2}$＜0，[0，1]为增区间，f（x）∈[-a，1]．
则0＜a≤2时，M（a）=9-2a，m（a）=-a，M（a）-m（a）=9-a；
2＜a＜4时，-a＜a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，9-2a＞1，即有M（a）=9-2a，m（a）=-a，M（a）-m（a）=9-a；
4≤a＜6时，M（a）=1，m（a）=-a，M（a）-m（a）=1+a；
a≥9时，9-2a≤-a，M（a）=1，m（a）=9-2a，M（a）-m（a）=2a-8；
6≤a＜9时，9-2a＞-a，M（a）=1，m（a）=-a，M（a）-m（a）=1+a．

点评 本题考查含绝对值函数的单调区间和最值的求法，同时考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．