Question

18．已知点A（1，0），B（0，2），C（3，4）．
（1）求△ABC面积；
（2）求过此三点圆的方程．

Answer 1

分析 （1）过点C作CD垂直于x轴，交x轴于点D，三角形ABC面积=梯形CDOB面积-三角形AOB面积-三角形ACD面积，求出即可；
（2）分别求出线段AB与线段AC垂直平分线方程，联立求出圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆的半径，即可确定出所求圆方程．

解答 解：（1）过C作CD⊥x轴，交x轴于点D，如图所示，
根据题意得：S_△ABC=S_梯形BODC-S_△AOB-S_△ADC=$\frac{1}{2}$×（2+4）×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×4=9-1-4=4；
（2）∵A（1，0），B（0，2），C（3，4），
∴线段AB的垂直平分线为y-1=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$），即2x-4y+3=0，线段AC的垂直平分线为y-2=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-6=0，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-3}\\{x+2y=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}}\\{y=\frac{15}{8}}\end{array}\right.$，即圆心坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{15}{8}$），
∴圆的半径r=$\sqrt{（\frac{9}{4}-1）^{2}+（\frac{15}{8}-0）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{8}$，
则所求圆方程为（x-$\frac{9}{4}$）²+（y-$\frac{15}{8}$）²=$\frac{325}{64}$．

点评 此题考查了圆的标准方程，坐标与图形性质，线段垂直平分线方程，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．