Question

10．已知函数f（x）=x²-3x+alnx（a＞0），若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 求导函数f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，判断导函数的正负，确定函数的单调区间，根据单调性确定函数的极值．

解答 解：f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，
f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$
=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$，
由2x²-3x+1=0，得x₁=1，x₂=$\frac{1}{2}$．
由2x²-3x+1＞0，得x＜$\frac{1}{2}$，或x＞1，∴f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）．
由2x²-3x+1＜0，得 $\frac{1}{2}$＜x＜1，∴f（x）的单调递减区间为（ $\frac{1}{2}$，1）．
∴f（x）极大值为f（ $\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2
极小值为f（1）=-2；

点评 题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减；若x₀满足f′（x₀）=0，且在x₀的两侧f（x）的导数异号，则x₀是f（x）的极值点，f（x₀）是极值，并且如果f′（x）在x₀两侧满足“左正右负”，则x₀是f（x）的极大值点，f（x₀）是极大值；如果f′（x）在x₀两侧满足“左负右正”，则x₀是f（x）的极小值点，f（x₀）是极小值．