Question

19．求函数y=$\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+{3}^{x+1}+2}$的最大值．

Answer 1

分析 令t=3^x，（t＞0），则y=$\frac{t}{{t}^{2}+3t+2}$=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}+3}$，结合基本式，先分析分母的取值范围，进而求出函数的值域，可得答案．

解答 解：令t=3^x，（t＞0），
则y=$\frac{t}{{t}^{2}+3t+2}$=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}+3}$，
∵$t+\frac{2}{t}≥2\sqrt{2}$，
故$t+\frac{2}{t}+3≥3+2\sqrt{2}$，
故0＜$\frac{1}{t+\frac{2}{t}+3}$≤$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=$3-2\sqrt{2}$，
即函数y=$\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+{3}^{x+1}+2}$的最大值为$3-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中利用换元法，将一个指数型的解析式，化为分式型的解析式，是解答的关键．