Question

4．在△ABC中，若AB=2，AC²+BC²=10，则△ABC的面积取最大值时，最大的边长等于$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由余弦定理和三角形的面积公式可得S²=$\frac{1}{4}$a²b²-$\frac{9}{4}$，进而由基本不等式可得4S²+9=a²b²≤$（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}）^{2}$=25，由等号成立的条件可得．

解答 解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则c=2，a²+b²=10，
由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{10-4}{2ab}$=$\frac{3}{ab}$，
∴sin²C=1-cos²C=1-$\frac{9}{{a}^{2}{b}^{2}}$，
又∵三角形的面积S=$\frac{1}{2}$absinC，
∴S²=$\frac{1}{4}$a²b²sin²C=$\frac{1}{4}$a²b²（1-$\frac{9}{{a}^{2}{b}^{2}}$）=$\frac{1}{4}$a²b²-$\frac{9}{4}$，
∴4S²+9=a²b²≤$（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}）^{2}$=25，
当且仅当a=b=$\sqrt{5}$时取等号，此时S²≤4，S≤2，即S取最大值2，
此时最大边长为$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及余弦定理与三角形面积公式，属中档题．