Question

设a∈R,函数f(x)=3x³-4x+a+1.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若对于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,求a的最大值;

(3)若方程f(x)=0存在三个相异的实数根,求a的取值范围.

Answer 1

解:(1)f(x)的导数f′(x)=9x²-4.令f′(x)＞0,解得x＞或x＜;

令f′(x)＜0,解得＜x＜.从而f(x)的单调递增区间为(-∞,),(,+∞);

单调递减区间为(,).

(2)由f(x)≤0,得-a≥3x³-4x+1.

由(1)得,函数y=3x³-4x+1在(-2,)内单调递增,在(,0)内单调递减,

从而当x=时,函数y=3x³-4x+1取得最大值.

因为对于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,故-a≥,即a≤-,

从而a的最大值是-.

(3)当x变化时,f(x),f′(x)变化情况如下表:

x	(-∞,)		(,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值a+	↘	极小值a	↗

①由f(x)的单调性,当极大值a+＜0或极小值a＞0时,方程f(x)=0最多有一个实数根;

②当a=时,解方程f(x)=0,得x=,x=,即方程f(x)=0只有两个相异的实数根;

③当a=时,解方程f(x)=0,得x=,x=,即方程f(x)=0只有两个相异的实数根.

如果方程f(x)=0存在三个相异的实数根,

则解得a∈(,).

事实上,当a∈(,)时,

∵f(-2)=-15+a＜-15+＜0,且f(2)=17+a＞17＞0,

∴方程f(x)=0在(-2,),(,),(,2)内各有一根.

综上,若方程f(x)=0存在三个相异的实数根,则a的取值范围是(,).