Question

已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i，设a₁，a₂，a₃，a₄是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有（ ）
A．216个
B．108个
C．48个
D．24个

Answer 1

【答案】分析：根据题意，首先排列a₁，a₂，a₃，a₄，是1，2，3，4的任意一个排列，共有A₄⁴种结果，再排列a₁，a₂，a₃，a₄，对应的函数值，根据f（i）≠i．得到第一个函数值有3种结果，后面几个函数值依次是3，1，1，根据分步计数原理得到结果．
解答：解：首先排列a₁，a₂，a₃，a₄，是1，2，3，4的任意一个排列，共有A₄⁴=24种结果，
再排列a₁，a₂，a₃，a₄，对应的函数值，
∵f（i）≠i．
∴第一个函数值有3种结果，后面几个函数值依次是3，1，1，共有3×3=9种结果，
根据分步计数原理知共有24×9=216种结果，
故选A．
点评：本题综合考查分步计数原理与分类计数原理，考查函数的概念及其构成要素，对于这类较复杂的计数问题，需要综合利用两个原理解决．