Question

（2013•青浦区一模）已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{a_n}是等差数列，a₁₀₀₇＞0，则f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）的值（　　）

A．恒为正数

B．恒为负数

C．恒为0

D．可正可负

Answer 1

分析：由题意可得f（0）=0，且当x＞0，f（0）＞0； 当x＜0，f（0）＜0．由数列{a_n}是等差数列，a₁₀₀₇＞0，可得f（a₁₀₀₇）＞0  可得 a₁+a₂₀₁₃=2a₁₀₀₇＞0，故f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＞0，同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＞0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＞0，…，从而得到所求式子的符号．

解答：解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，∴f（0）=0，且当x＞0，f（0）＞0； 当x＜0，f（0）＜0．
∵数列{a_n}是等差数列，a₁₀₀₇＞0，故f（a₁₀₀₇）＞0．
再根据 a₁+a₂₀₁₃=2a₁₀₀₇＞0，∴f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＞0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＞0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＞0，…，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）＞0，
故选A．

点评：本题主要考查等差数列的性质，函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题．