Question

已知椭圆．
（1）直线AB过椭圆Γ的中心交椭圆于A、B两点，C是它的右顶点，当直线AB的斜率为1时，求△ABC的面积；
（2）设直线l：y=kx+2与椭圆Γ交于P、Q两点，且线段PQ的垂直平分线过椭圆Γ与y轴负半轴的交点D，求实数k的值．

Answer 1

解：（1）依题意，，，直线AB的方程为y=x，
由，得，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），∵，
∴；
（2）由得（3k²+1）x²+12kx=0，△=（12k）²≥0，
依题意，k≠0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点H（x₀，y₀），
则，，D（0，-2），
由k_DH•k_PQ=-1，得，解得．
所以实数k的值为．
分析：（1）由题意写出C点坐标，直线AB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点A、B的纵坐标，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，代入数值即可求得面积；
（2）联立直线l与椭圆方程消掉y得x的二次方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点H（x₀，y₀），由韦达定理及中点坐标公式可用k表示出中点坐标，由垂直可得
k_DH•k_PQ=-1，解出即得k值，注意检验△＞0；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、三角形面积公式，韦达定理、判别式是解决该类题目的常用知识，要熟练掌握．