Question

已知椭圆mx²+ny²=1与直线x+y=1相交于A、B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若直线OM的斜率为

2

，则

n

m

的值为（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  1

  2

• C．

  2

• D．2

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由题意可得

y1+y2

x1+x2

，

y2-y1

x2-x1

的值，将A，的坐标代入椭圆方程得到两式相减可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，将值代入求出

n

m

的值．

解答：解：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），
由题意可得

y1+y2

x1+x2

=

y0

x0

=

2

，

y2-y1

x2-x1

=-1  ①
因为A，B在椭圆上
所以mx₁²+ny₁²=1，mx₂²+ny₂²=1
两式相减可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0  ②
所以

y1-y2

x1-x2

=-

m(x1+x2)

n(y1+y2)

，
即-1=-

m(x1+x2)

n(y1+y2)

，
所以-1=-

m

n

•

2

2

n

m

=

2

2

故选A．

点评：本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点及直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程得方法可以简化基本运算