Question

已知椭圆mx²+ny²=1，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=

10

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：把直线方程与椭圆方程方程联立即可得到根与系数的关系，由

OQ

⊥

OP

得x₁x₂+y₁y₂=0，再利用弦长公式即可得出．

解答：解：依题意，点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）的坐标满足方程组

mx2+ny2=1 y=x+1

，
化为（m+n）x²+2nx+n-1=0，
∴x1+x2=-

2n

m+n

，x1x2=

n-1

m+n

           
由

OQ

⊥

OP

得x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
∴

2(n-1)

m+n

-

2n

m+n

+1=0，化为m+n=2．
又由|PQ|=

10

2

，∴

10

2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[( -2n m+n )2- 4(n-1) m+n ]

，
把m+n=2代入整理为4n²-8n+3=0，解得n=

3

2

或

1

2

．
当n=

3

2

时，m=

1

2

；当n=

1

2

时，m=

3

2

．
故所求椭圆方程为

x2

2

+

3y2

2

=1，或

3x2

2

+

y2

2

=1．

点评：熟练掌握直线与椭圆相交问题转化为直线方程与椭圆方程方程联立可得根与系数的关系、

OQ

⊥

OP

?x₁x₂+y₁y₂=0、弦长公式等是解题的关键．