Question

【题目】如图，矩形所在的平面与正三角形所在的平面互相垂直，为的中点，连接.

（1）证明:平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接，可得，由条件可证，可得平面，从而可证.
（2）取中点,中点以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系, 直线与平面所成的角即为，故，运用向量的方法求解.

（1）证明:连接

三角形为正三角形，为的中点，

平面平面，

平面平面

平面

平面

平面 .

，平面平面，

平面

平面

平面平面

（2）取中点,中点以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图.

直线与平面所成的角即为，

故.

设，

则，

，，，

故，

设平面的法向量为，

则

即

即

令，则，

故.

平面的法向量为，

设所求二面角的大小为，

则

由，

故二面角的余弦值为: