Question

3．已知数列{a_n}满足：a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设数列{b_n}满足b_n=2${log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$+1，求数列$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}{（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}+1$=2n-1，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=n$，①${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-2}}{a_{n-1}}=n-1$，②
由①-②得：3^n-1a_n=1，∴${a_n}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$．
当n=1时，a₁=1也满足上式，∴${a_n}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}（n∈{N^*}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}{（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}+1$=2（n-1）+1=2n-1，
∴$\frac{1}{{{b_n}\;•\;{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．