Question

（2010•深圳二模）已知

m

=(cosx，

3

sinx)，

n

=(cosx，cosx)，设f(x)=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调递增区间；
（2）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且b•c=

6

-

2

，f(A)=

1

2

，试求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最小正周期，结合余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间；
（2）利用（1）中的函数确定 f(A)=

1

2

中的A角，然后利用三角形的面积公式，即可求△ABC的面积S．

解答：解：由已知可知f(x)=

m

•

n

=cos2x+

3

sinx•cosx=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．…（3分）
（1）f（x）的最小正周期是π．…（4分）
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（ k∈Z），
解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．
所以f（x）的单调递增区间是 [kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．…（7分）
（2）∵f(A)=

1

2

，即sin(2A+

π

6

)+

1

2

=

1

2

，
∴sin(2A+

π

6

)=0，
∵△ABC是锐角三角形．
∴0＜A＜

π

2

，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
∴2A+

π

6

=π，∴A=

5π

12

．…（9分）
而 sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

•cos

π

6

+cos

π

4

•sin

π

6

=

6 + 2

4

，…（11分）
∴S=

1

2

b•c•sinA=

1

2

•(

6

-

2

)•

6 + 2

4

=

1

2

．…（12分）

点评：本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识，考查化归转化的数学思想和运算求解能力．