Question

已知定义在R的函数（a，b为实常数）．
（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

解：（Ⅰ），，，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（2分）
（Ⅱ）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即对任意x∈R恒成立．（4分）
化简整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0对任意x∈R恒成立．（6分）
∴，∴（舍）或，∴．（8分）
另解：∵f（x）是定义在R的奇函数，∴，，
∴，验证满足，∴．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
∴，从而；（12分）
而对任何实数c成立；
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．（14分）
分析：（I）证明不是奇函数，可用特殊值法；
（II）用奇函数定义f（-x）=-f（x），再用待定系数法求解；
（III）即证明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．
点评：本题主要考查奇函数的应用及恒成立问题．