Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

(1)求证：A、C、T三点共线；

(2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．

 

Answer 1

（1）见解析（2）椭圆方程为＋y2＝1.P点坐标为

【解析】(1)证明：设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T.

AT：＝1②，BF：＝1③，解得交点C，代入①得

＝＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T

三点共线．

(2)【解析】
过C作CE⊥x轴，垂足为E，则△OBF∽△ECF.

∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.设P(x0，y0)，则x0＋2＝2c2.此时C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，

直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝，

S△APC＝d·AC＝··c＝·c.只须求x0＋2y0的最大值，

(解法1)∵(x0＋2y0)2＝＋4＋2·2x0y0≤＋4＋2(＋)＝3(＋2)＝6c2，∴x0＋2y0≤c.当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝c.

(解法2)令x0＋2y0＝t，代入＋2＝2c2得(t－2y0)2＋2－2c2＝0，即6－4ty0＋t2－2c2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤c.当t＝c，代入原方程解得x0＝y0＝c.

∴四边形的面积最大值为c2＋c2＝c2＝，∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，此时椭圆方程为＋y2＝1.P点坐标为.