Question

已知直线l：y=kx+1与双曲线C：3x²-y²=1的左支交于点A，右支交于点B
（1）求k的取值范围；
（2）若直线l与y轴交于点P，且满足|PB|=2|PA|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和两根之积小于0联立求得k的范围．
（2）因|PB|=2|PA|且点P在线段AB上，故

AP

=

1

2

PB

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量关系得出A，B两点的坐标之间的关系式，结合（1）中一元二次方程根与系数的关系建立等式即可求出直线l的斜率，从而写出直线l的方程．

解答：解：（1）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得(3-k2)x2-2kx-2=0（1）
因直线l与双曲线在左、右两支分别交于A、B两点，
所以

3-k2≠0 △=24-4k2＞0 -2 3-k2 ＜0

，解得k²＜3，所以k的取值范围为(-

3

，

3

)
（2）因|PB|=2|PA|且点P在线段AB上，故

AP

=

1

2

PB

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于点P的坐标为（0，1），所以有(-x1，1-y1)=

1

2

(x2，y2-1)，
所以x1=-

1

2

x2，
于是可得：x1+x2=

1

2

x2，x1x2=-

1

2

x22
所以有：(x1+x2)2=-

1

2

x1x2，结合（1）有(

2k

3-k2

)2=-

1

2

×

-2

3-k2

，解得k2=

3

5

．
又由于点A在左支，点B在右支，并结合|PB|=2|PA|知k＞0，所以k=

15

5

，从而直线l的方程为y=

15

5

x+1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了函数思想的应用，圆锥曲线与向量知识的综合．