Question

已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若关于x的方程

[x]

x

-a=0（a为常数）有且仅有3个不等的实根，则a的取值范围是（　　）

• A、[

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]∪[

  4

  3

  ，

  3

  2

  ]
• B、(

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]∪[

  4

  3

  ，

  3

  2

  )
• C、(

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]∪[

  5

  4

  ，

  3

  2

  )
• D、[

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]∪[

  5

  4

  ，

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：关于x的方程

[x]

x

-a=0等价于[x]=ax．分x＞0和x＜0的情况讨论，确定为使函数f（x）=

[x]

x

-a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3，即可得出结论．

解答：解：关于x的方程

[x]

x

-a=0等价于[x]=ax．分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．
若x＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则

[x]

x

=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故

[x]

[x]+1

＜

[x]

x

≤1，即

[x]

[x]+1

＜a≤1，且

[x]

[x]+1

随着[x]的增大而增大．
若x＜0，此时[x]＜0；若-1≤x＜0，则

[x]

x

≥1；若x＜-1，因为[x]≤x＜-1，[x]≤x＜[x]+1，故1≤

[x]

x

＜

[x]

[x]+1

，即1≤a＜

[x]

[x]+1

，且

[x]

[x]+1

＜随着[x]的减小而增大．
为使函数f（x）=

[x]

x

-a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3．
若[x]=1，有

1

2

＜a≤1；若[x]=2，有

2

3

＜a≤1；若[x]=3，有

3

4

＜a≤1；若[x]=4，有

4

5

＜a≤1；若[x]=-1，有a＞1； 若[x]=-2，有1≤a＜2；若[x]=-3，有1≤a＜

3

2

，若[x]=-4，有1≤a＜

4

3

综上所述，

3

4

＜a≤

4

5

或

4

3

≤a＜

3

2

．
故选B．

点评：本题考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．