Question

5．求函数y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域．

Answer 1

分析 结合二次函数的图象及二次函数的性质，按对称轴与区间分4种情况讨论求函数的值域．

解答 解：函数y=x²+2x+3的图象的对称轴为x=-1，开口向上；
①当2+a≤-1，即a≤-3时，
y=x²+2x+3在[a，2+a]上单调递减，
故（a+2）²+2（a+2）+3≤y≤a²+2a+3，
即a²+6a+11≤y≤a²+2a+3，
即函数y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域为[a²+6a+11，a²+2a+3]；
②当a+1≤-1＜2+a，即-3＜a≤-2时，
结合二次函数的性质知，
（-1）²+2•（-1）+3≤y≤a²+2a+3，
即2≤y≤a²+2a+3，
即函数y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域为[2，a²+2a+3]；
③当a≤-1＜a+1，即-2＜a≤-1时，
结合二次函数的性质知，
（-1）²+2•（-1）+3≤y≤a²+6a+11，
即2≤y≤a²+2a+3，
即函数y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域为[2，a²+6a+11]；
④当a＞-1时，
y=x²+2x+3在[a，2+a]上单调递增，
故a²+2a+3≤y≤（a+2）²+2（a+2）+3，
即a²+2a+3≤y≤a²+6a+11，
即函数y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域为[a²+2a+3，a²+6a+11]．

点评 本题考查了二次函数的值域的求法及分类讨论的思想应用，属于中档题．