Question

（2012•吉林二模）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，点M，N分别在PD，PC上，

PN

=

1

2

NC

，PM=MD．
（Ⅰ） 求证：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证线面垂直：常用线面垂直的判定定理，即让PC垂直于面AMN中的两条相交直线；除此之外，由于四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，故可建立空间直角坐标系．即用向量法解决几何问题．
（2）求二面角的平面角的余弦值借助于面的法向量来做，即要分别找出面ABN和面AMN的法向量．

解答：解：（1）（法一）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD．∵AM?面PAD，∴CD⊥AM
∵M是PD的中点，且PA=AD=2，
∴AM⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AM⊥面PCD，而PC?面PCD，∴PC⊥AM．
∵

PN

=

1

2

NC

，∴点N是PC的三等分点．
∵PC=

PA2+AC2

=

22+(2 2 )2

=2

3

，∴PN=

2 3

3

．
∵

PN

PA

=

PA

PC

=

3

3

，∠APN=∠CPA，∴△PAN=△PCA，∴∠ANP=90°，
∴AN⊥PC，又PC⊥AM且AM∩AN=A，∴PC⊥面AMN．
（法二））∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD．∵AM?面PAD，∴CD⊥AM
∵M是PD的中点，且PA=AD=2，
∴AM⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AM⊥面PCD，而PC?面PCD，∴PC⊥AM．∴AN⊥PC，又PC⊥AM且AM∩AN=A，∴PC⊥面AMN．
由于四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，故可以建立分别以AB，AB，AP为X轴，Y轴，Z轴的空间直角坐标系．
∵PA=AD=2，∴P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0），∴M（0，1，1），C（2，2，0），
∴

PC

=(2，2，-2)，

AM

=(0，1，1)，

∵PC

•

AM

=0+2-2=0，∴PC⊥AM，
设N（x，y，z），∵

PN

=

1

2

NC

，求得N(

2

3

，

2

3

，

4

3

)，
∵

PC

•

AN

=

4

3

+

4

3

-

8

3

=0，∴AN⊥PC．
又PC⊥AM，且AM∩AN=A，∴PC⊥面AMN．
（2）设平面BAN的法向量为

n

=(x，y，z)，∵

n • AB =0 n • AN =0

，∴

n

=(0，2，-1)．
∵

PC

=(2，2，-2)是平面AMN的法向量，∴cos＜

n

，

PC

＞=

n • PC

| n |•| PC |

=

15

5

，
∴二面角B=AN-M的余弦值为-

15

5

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；用空间向量的方法证明立体几何问题是我们理科生特别要重点掌握的内容．