Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(3

2

，4)，点B(

10

，2

5

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆M：x²+（y-5）²=9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

Answer 1

分析：（1）待定系数法求椭圆的方程，设椭圆C的方程为mx²+ny²=1，将点A(3

2

，4)，点B(

10

，2

5

)代入，建立方程组，即可求出椭圆C的方程；
（2）设出双曲线方程，利用圆M：x²+（y-5）²=9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，建立两个方程，从而可求出双曲线G的方程．

解答：解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为mx²+ny²=1，…（1分）
从而

18m+16n=1 10m+20n=1

，解得

n= 1 25 m= 1 50

…（3分）
故椭圆C的方程为

x2

50

+

y2

25

=1…（4分）
（2）椭圆C：

x2

50

+

y2

25

=1的两焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），…（5分）
∵双曲线G与椭圆C有相同的焦点，
∴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c=5．…（6分）
设双曲线G的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则G的渐近线方程为y=±

b

a

x，…（7分）
即bx±ay=0，且a²+b²=25，
圆M：x²+（y-5）²=9的圆心为（0，5），半径为r=3．
∵双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切
∴

|5a|

a2+b2

=3
∴a=3，b=4．…（9分）
∴双曲线G的方程为

x2

9

-

y2

16

=1．…（10分）

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查待定系数法，根据不同条件，设出方程是我们解答这类问题的关键．