Question

设f（x）=

1

3

x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b-a）

Answer 1

（1）由题意得g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=（x+m-1）²+（n-3）-（m-1）²，
又g（x） 在x=-2处取得最小值-5，
所以

m-1=2 (m-3)2

+(n-3)-(m-1)2=-5，解得m=3，n=2．
所以f（x）=

1

3

x³+3x²+2x． 
（2）因为f′（x）=x²+2mx+n且f（x）的单调递减区间的长度是正整数，
所以方程f′（x）=0，即x²+2mx+n=0必有两不等实根，
则△=4m²-4n＞0，即m²＞n．
不妨设方程f′（x）=0的两根分别为x₁、x₂，则|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

m2-n

且为正整数．
又因为m+n＜10（m，n∈N⁺），所以m≥2时才能有满足条件的m、n．
当m=2时，只有n=3符合要求；
当m=3时，只有n=5符合要求；
当m≥4时，没有符合要求的n．
故只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求．