Question

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，点是的中点，且，.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求证：∥平面；

（3）求直线和平面所成的角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；

（2） 取的中点，连接、。∥且 

由底面是直角梯形，垂直于和，得到∥且，从而∥且，由 四边形是平行四边形推出∥，得到∥平面；

（3）直线和平面所成的角的正弦值是。

【解析】

试题分析：（1）∵⊥底面,底面,底面

∴ ⊥, ⊥

∵,、是平面内的两条相交直线

∴ 侧棱底面               2分

在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，，

∴            4分

（2） 取的中点，

连接、。

∵ 点是的中点  

∴∥且 

∵ 底面是直角梯形，垂直于和，，

∴ ∥且            

∴ ∥且

∴ 四边形是平行四边形　　　　　

∴ ∥

∵，

∴ ∥平面                            8分

（3）∵ 侧棱底面，底面　　　

∴

∵垂直于，、是平面内的两条相交直线

∴ ，垂足是点                  

∴是在平面内的射影，

∴是直线和平面所成的角            

∵ 在中，，    

∴

∴

∴ 直线和平面所成的角的正弦值是     13分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角及体积计算。

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，能省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。