Question

3．已知x²+y²+z²=1，求xy+yz最大值．

Answer 1

分析 先将题中条件转化为1=x²+y²+z²=（x²+$\frac{1}{2}$y²）+（$\frac{1}{2}$y²+z²），再利用基本不等式即可求出xy+yz的最大值．

解答 解：由于1=x²+y²+z²=（x²+$\frac{1}{2}$y²）+（$\frac{1}{2}$y²+z²）≥2x•$\frac{y}{\sqrt{2}}$+2•$\frac{y}{\sqrt{2}}$•z=$\sqrt{2}$（xy+yz），
当且仅当x=$\frac{y}{\sqrt{2}}$=z时，等号成立，
∴x=$\frac{y}{\sqrt{2}}$=z=$\frac{1}{2}$时，xy+yz的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本小题主要考查基本不等式的应用、配凑法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．