Question

12．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a²+c²=b²+ac，
（1）求角B的大小；
（2）若A=$\frac{5π}{12}$，b=2，求边c的大小；
（3）若a+c=4，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，从而解得B的值．
（2）由三角形内角和定理可求C=$π-A-B=\frac{π}{4}$，由正弦定理c=$\frac{bsinC}{sinB}$即可得解．
（3）由a+c=4，利用基本不等式的应用可得b²=a²+c²-ac=a²+（4-a）²-a（4-a）=3（a-2）²+4≥4，即可求得b的最小值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵a²+c²=b²+ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$…4分
（2）∵C=$π-A-B=\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$…8分
（3）∵a+c=4，
∴b²=a²+c²-ac=a²+（4-a）²-a（4-a）=3a²-12a+16=3（a-2）²+4≥4，
∴b的最小值为2…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．